Twee hoeken van een driehoek hebben hoeken van (3 pi) / 8 en pi / 6. Als een zijde van de driehoek een lengte van 1 heeft, wat is dan de langst mogelijke omtrek van de driehoek?

Antwoord:

De langst mogelijke omtrek is ongeveer #4.8307#.

Uitleg:

Eerst vinden we de enige resterende hoek, gebruikmakend van het feit dat de hoeken van een driehoek oplopen #pi#:

Voor #triangle ABC #:

Laat #angle A = (3pi) / 8 #

Laat #hoek B = pi / 6 #

Dan

#hoek C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

#color (wit) (hoek C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#color (wit) (hoek C) = (11pi) / 24 #

Voor elke driehoek is de kortste zijde altijd tegenover de kleinste hoek. (Hetzelfde geldt voor de langste zij- en grootste hoek.)

Om de omtrek te maximaliseren, moet de bekende zijde van de zijkant de kleinste zijn. Dus sindsdien #hoek B # is de kleinste (op # Pi / 6 #), hebben we vastgesteld # B = 1 #.

Nu kunnen we de sinuswet gebruiken om de resterende twee zijden te berekenen:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b keer (sinA) / (sinB) #

#color (wit) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (white) (=> a) ~~ 0.9239 / 0.5 "" "" = 1.8478 #

Een vergelijkbare formule wordt gebruikt om te laten zien #c ~~ 1.9829 #.

Toevoegen van deze drie waarden (van #een#, # B #, en # C #) samen levert de langst mogelijke omtrek voor een driehoek zoals beschreven:

# P = "" a "" + b + "" c #

#color (wit) P ~~ 1,8478 + 1,9829 + 1 #

#color (wit) P = 4,8307 #

(Omdat dit een geometrie vraag is, kan je gevraagd worden om het antwoord in exacte vorm te geven, met radicalen.) Dit is mogelijk, maar een beetje vervelend om een antwoord hier te krijgen, daarom heb ik mijn antwoord gegeven als een geschatte decimale waarde.)

Twee hoeken van een driehoek hebben hoeken van (2 pi) / 3 en (pi) / 4. Als een zijde van de driehoek een lengte van 12 heeft, wat is dan de langst mogelijke omtrek van de driehoek?

De langst mogelijke omtrek is 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Aangezien twee hoeken (2pi) / 3 en pi / 4 zijn, is de derde hoek pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Voor de langste perimeterzijde van lengte 12, zeg a, moet de tegenoverliggende kleinste hoek pi / 12 zijn en dan wordt de sinusformule gebruikt, andere twee zijden zijn 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Vandaar b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 en c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 De langst mogelijke omtrek is dus 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941.

Twee hoeken van een driehoek hebben hoeken van (2 pi) / 3 en (pi) / 4. Als een zijde van de driehoek een lengte van 4 heeft, wat is dan de langst mogelijke omtrek van de driehoek?

P_max = 28.31 eenheden Het probleem geeft je twee van de drie hoeken in een willekeurige driehoek. Omdat de som van de hoeken in een driehoek moet oplopen tot 180 graden, of pi radialen, kunnen we de derde hoek vinden: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Laten we de driehoek tekenen: het probleem stelt dat een van de zijden van de driehoek een lengte van 4 heeft, maar het geeft niet aan welke kant. In elke willekeurige driehoek is het waar dat de kleinste zijde tegenovergesteld is aan de kleinste hoek. Als we de omtrek willen maximaliseren, moeten we de

Twee hoeken van een driehoek hebben hoeken van (2 pi) / 3 en (pi) / 4. Als een zijde van de driehoek een lengte van 19 heeft, wat is dan de langst mogelijke omtrek van de driehoek?

Langst mogelijke omtrekkleur (groen) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Drie hoeken zijn (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12 als de drie hoeken optellen tot pi ^ c Om de langste perimeter te krijgen, kant 19 moet overeenkomen met de kleinste hoek pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Langst mogelijke omtrekkleur (groen) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842 )