Wat is de standaardvorm van de vergelijking van de parabool met een directrix op x = 103 en een focus op (108,41)?

Antwoord:

# X = 10/1 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Uitleg:

Een parabool is de plaats van een punt, dat zo beweegt dat de afstand tot een gegeven lijn genaamd directrix en een bepaald punt dat focus wordt genoemd, altijd gelijk is.

Nu, de afstand tussen twee pinten # (X_1, y_1) # en # (X_2, y_2) # is gegeven door #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # en afstand van een punt # (X_1, y_1) # van een lijn # Ax + by + c = 0 # is # | (Ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Parabool komen met richtlijn # X = 103 # of # X-103 = 0 # en focus #(108,41)#, laat het punt op gelijke afstand van beide zijn # (X, y) #. De afstand van # (X, y) # van # X-103 = 0 # is

# | (X-103) / sqrt (2 + 1 ^ 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

en de afstand tot #(108,41)# is

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (y-41) ^ 2) #

en als de twee gelijk zijn, zou vergelijking van parabool zijn

# (108-x) ^ 2 + (y-41) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

of # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

of # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

of # Y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

of # 10x = y ^ 2-82y + 2.736 #

of # 10x = (y-41) ^ 2 + 1.055 #

of in vertex-vorm # X = 10/1 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

en vertex is #(105 1/2,41)#

Zijn grafiek verschijnt zoals hieronder getoond, samen met focus en directrix.

grafiek {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0.6) (x-103) = 0 51.6, 210.4, -13.3, 66.1}