Herschrijf de vergelijking in een geroteerd x'y'-systeem zonder een x'y'-term. Kan ik hulp krijgen? Bedankt!

Antwoord:

De tweede selectie:

# ^ X 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Uitleg:

De gegeven vergelijking

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

is in de algemene cartesiaanse vorm voor een kegelsnede:

# Axe ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

waar #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 en F = -144 #

De referentieomwenteling van assen geeft ons vergelijkingen waarmee we een kegelsnede kunnen roteren tot een bepaalde hoek, # Theta #. Het geeft ons ook een vergelijking die ons in staat stelt om de coëfficiënt van de # Xy # om 0 te worden.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Vervangen van de waarden uit vergelijking 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Makkelijker maken:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Gebruik vergelijking (9.4.4b) om te controleren of nieuwe rotatie de coëfficiënt van de # Xy # termijn om 0 te zijn:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # geverifieerd.

Gebruik vergelijking (9.4.4a) om te berekenen #EEN'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Gebruik vergelijking (9.4.4c) om te berekenen # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Gebruik vergelijking (9.4.4f) om te berekenen # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Nu kunnen we de niet-geroteerde vorm schrijven:

# 36x ^ 2 + 16j ^ 2-144 = 0 #

Verdeel beide zijden door 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Voeg aan beide zijden 1 toe:

# ^ X 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Antwoord:

Optie B

Uitleg:

We kunnen de vergelijking in matrixvorm schrijven en deze vervolgens op zijn hoofdas draaien.

Laat:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

En dus in matrixvorm:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Om de assen te draaien # BBX # door # Theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

transponeren #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, omdat R orthogonaal is

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Deze laatste 2 resultaten plaatsen in #plein#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW als R is de matrix die diagonaliseert M, dan hebben we de vergelijking in termen van zijn hoofdassen voor diagonale eigenvectormatrix D, dat wil zeggen:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M eigenwaarden zijn 36 en 16, zodat het kan worden gealignaliseerd als:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #